Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Empezamos con la trigonometría:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura.

Triángulo rectángulo
Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto.

Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

seno

El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α).

sin(α)= cateto opuestohipotenusa=ca

coseno

El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α).

cos(α)= cateto contiguohipotenusa=ba

tangente

La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α).

tan(α)= cateto opuestocateto contiguo=cb

De las definiciones anteriores es posible deducir que:

tg(α)=sin(α)cos(α)

Demostración:

tan(α)= cb=⎧⎩⎨⎪⎪c=sin(α)⋅a b=cos(α)⋅a⎫⎭⎬⎪⎪=sin(α)⋅acos(α)⋅a=sin(α)cos(α)

cosecante

La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α).

csc(α)=1sin(α)=hipotenusacateto opuesto=ac

secante

La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa del coseno es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α).

sec(α)=1cos(α)=hipotenusacateto contiguo=ab

cotangente

La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α).

cotg(α)=1tg(α)=cateto contiguocateto opuesto=bc

Propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo agudo

1. Dado que se trata de un ángulo agudo ( 0 < α < 90º ) podemos deducir que:

0<sin(α)<10<cos(α)<1

2. A partir del teorema de pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica:

sin2(α)+cos2(α)=1

Demostración:

sin2(α)+cos2(α)=(ca)2+(ba)2=c2+b2a2={a2=b2+c2}=a2a2=1

3. De igual forma, si dividimos la identidad pitagórica por cos2(α) obtenemos que:

tan2(α)+1 = sec2(α)

Demostración:

sin2(α)cos2(α)+cos2(α)cos2(α)=1cos2(α) ;(sin(α)cos(α))2+1=(1cos(α))2 ;tan2(α)+1 =