He hecho un resumen
de las cosas mas importantes que hemos aprendido en los temas 9,10,11 y 12 (son de los mas importantes que vamos a dar
durante el curso de 1º de bachillerato). Espero que este resumen os sirva para
afianzar mejor los conceptos y manejar a la perfección las funciones, su estudio,
limites...
Para hacer este
resumen he usado como fuentes mis propios apuntes, los apuntes de algunos de
mis compañeros del blog, el propio libro de texto, internet y sobretodo dos
trabajos de dos antiguos alumnos de mi instituto (nuestro profesor nos dijo que
les echáramos un vistazo porque estaban realmente bien y tenía toda la razón)
aquí os dejare los links a los trabajos.
¡OS RECOMIENDO QUE ENTRÉIS!
Este resumen lo he
divide en varias partes:
•La primera parte
es FUNCIONES Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN.
•La segunda parte
es LIMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN (MÁS EN PROFUNDIDAD)
•La tercera parte
son EJEMPLOS DE ESTUDIOS COMPLETOS DE FUNCIONES
FUNCIONES
1. ¿Qué
es una función?
Una función real f
es una relación que asocia a cada número real x un único número real f(x).
Variable x: variable independiente
Variable y: variable dependiente
*Para que sea una FUNCIÓN a cada valor de x solo le puede
corresponder un unico valor de y.
2. Clases
de funciones
2.1
FUNCIONES POLINOMICAS
- Función de primer grado:
1.
Función constante: y = K
2.
Función afín: y = ax + b
3.
Función lineal: y = ax
- Función de segundo grado:
Función cuadrática: y = ax2 + bx + c
- Función de tercer grado:
Función cúbica: y = ax3 + bx2 + cx + d
2.2 FUNCIONES
RACIONALES
- Función racional del tipo: y=k / x
- Función racional del tipo: y= k / (x -
a)2
2.3
FUNCIONES IRRACIONALES
-Función
irracional o función radical:
2.4
FUNCIONES POTENCIALES
-
Función potencial: y = axn
2.5
FUNCIONES EXPONENCIALES
-Función exponencial: y= a
2.6
FUNCIONES LOGARITMICAS
-Función logarítmica: y= loga x
2.7
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
- Función seno: y=sen x
- Función coseno: y= cos x
- Función tangente: y= tg x
- Función cotangente: y= cotg x
- Función secante: y= sec x
- Función cosecante: y= cosec x
Funciones trigonométricas inversas
- Función arco seno: y=arc sen x
- Función arco coseno: y= arc cos x
- Función arco tangente: y=arc tg x
2.8
FUNCIONES A TROZOS
- Valor absoluto de una función: y = |x|
- Función signo: y= sig x
- Función parte entera de x: y= E(x) ,y=
[x] , y=Ent(x)
- Función parte decimal de x o función
mantisa: y= Dec(x)
- Función escalonada
3.Estudio
completo de una función
· Dominio
El
dominio de la
función es el conjunto D ⊂
R de los valores para los que está
definida
la función. Se representa por Dom f.
-CALCULAR
EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
1.
Funciones polinómicas
El
dominio es R ya que para todo valor real de la variable x puede calcularse
El
correspondiente valor y.
2.
Funciones racionales
El
dominio está formado por todos los números reales, excepto por aquellos que anulan
el denominador.
3.
Funciones irracionales
Para
determinar el dominio de una función irracional existen dos casos:
4.
Funciones exponenciales
El dominio
de una función exponencial es igual al dominio de la función que
Aparezca
en el exponente.
5.
Funciones logarítmicas
Debido a
que solo tienen sentido los logaritmos de números positivos.
6.1
Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas
6.2
Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas inversas
7.
¿CÓMO CALCULAR EL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN?
Para
hallar el recorrido de una función f(x) hacemos lo siguiente:
1.
Igualamos f(x) = y
2.
Despejamos la variable x.
3.
Estudiamos el dominio de la nueva función.
· Gráfica
Con la gráfica de una función podemos
realizar prácticamente todo su estudio.
A mi parecer el mejor programa para dibujar
gráficas es GEOGEBRA (está disponible hasta en versión online).
· Imagen
y sobreyectividad
El recorrido o imagen de la función
es el conjunto de valores que toma la
Función. Se representa por Im f.
SOBREYECTIVIDAD
Una función f: X →
Y es una función
sobreyectiva si:
Im (f) =Y
Esto significa que todo elemento y ∈ Y es la imagen de al menos
un elemento x ∈
A. Es decir, la imagen de f coincide con el conjunto final.
·
Inyectividad
Una función f de dominio D = Dom (f) es
inyectiva cuando a elementos distintos de D le corresponden imágenes distintas:
Si x1, x2 ∈ D: x1 ≠
x2 ⇒
f(x1) ≠ f(x2)
Dos elementos distintos del dominio D no
pueden tener la misma imagen.
· Signo y
ceros. Ordenada en el origen
SIGNOS:
Para representar gráficamente una función
es útil saber en qué intervalos su
gráfica está por encima o por debajo del eje
X.
- Si la gráfica va por encima: f(x) > 0
- Si va por debajo: f(x) < 0
Con el eje de abscisas (eje X)
La segunda coordenada debe ser 0, por lo
tanto debe ser del tipo (a, 0). Los valores de a son las raíces de la ecuación
f(x) = 0.
Con el eje de ordenadas (eje Y)
La primera coordenada debe ser 0, por lo
tanto debe ser del tipo (0, b). El valor de b se averigua hallando la imagen de
0, es decir, b = f (0).
Solo puede cortar al eje de ordenadas en un
único punto.
·
Continuidad y asíntotas
Una función es continua en un punto a si se
cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Existe el límite de f(x) cuando x tiende
a a.
2. La función está definida en el punto a.
3. Los dos valores anteriores coinciden.
Una función es continua en un intervalo si es
continua en todos los puntos del intervalo.
De la misma forma, una función es continua en
todo su dominio cuando lo es en todos los puntos que componen su dominio.
-CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
1. Una función polinómica f(x) = a0 + a1x
+... + anxn es continua en todo punto de R.
2. Una función racional f(x) = P(x) / Q(x)
donde P(x) y Q(x) son polinomios, es continua en todo R excepto aquellos puntos
que anulen el denominador.
3. Una función radical o irracional f(x) =
√g(x) es continua en todo R si n es impar y en los puntos donde g(x) ≥ 0 si n
es par.
4. Una función exponencial f(x) = a^x (donde a > 0 y a ≠ 1) es continua en todo
R.
5. Una función logarítmica f(x) = loga x (donde
a > 0 y a ≠ 1) es continua en el intervalo (0,+∞).
6. Las funciones trigonométricas f(x) = sen
x y f(x) = cos x son continuas en todo R.
*La función trigonométrica f(x) = tg x es
continua en todo R excepto en los
puntos de la forma x = (π/2) + k·π.
ASÍNDOTAS
Una función racional puede tener asíntotas
verticales, horizontales y oblicuas:
1) Tiene tantas asíntotas verticales como
raíces reales distintas tenga el denominador y que no lo sean del numerador.
2) Tiene una asíntota horizontal si el
grado del numerador es menor o igual que el del denominador.
3) Tiene una asíntota oblicua si el grado del
numerador es uno más que el del denominador.
4) Tiene una rama parabólica (asíntota oblicua
no lineal) si el grado del numerador es 2 o más que el del denominador.
Una función racional puede tener varias
asíntotas verticales, y a lo sumo una
horizontal u oblicua. Incluso puede tener
una asíntota de cada, como en el ejercicio 5.1 del examen.
·
Acotación y extremos absolutos
Función
acotada superiormente. Máximo absoluto
Una función f decimos que está acotada superiormente
si existe un número K tal que la imagen de cualquier punto x del dominio de f
es siempre menor o igual que ese valor.
A este número K le llamamos cota superior
de la función f.
Una función acotada superiormente tiene
infinitas cotas superiores. A la más pequeña de las cotas superiores le
llamamos extremo superior o supremo y lo expresamos como sup (f).
Si la función alcanza al supremo, este se
llama máximo absoluto de la función, es decir, que existe x0 ∈ Dom (f) tal que f(x0) = K,
siendo K = sup (f), diremos que f tiene un máximo absoluto y este máximo
absoluto es K.
Gráficamente,
si al trazar la línea horizontal del supremo, esta toca a la gráfica de la
función en algún punto, entonces la función tiene un máximo absoluto, y si no toca
a la gráfica en ningún punto no tiene máximo absoluto.
Función
acotada inferiormente. Mínimo absoluto
Una función f decimos que está acotada
inferiormente si existe un número P tal que la imagen de cualquier punto x del
dominio de f es siempre mayor o igual que ese valor. A este número P le
llamamos cota inferior de la función f.
Una función acotada inferiormente tiene
infinitas cotas inferiores.
A la más grande de las cotas inferiores le
llamamos extremo inferior o ínfimo y lo expresamos como inf (f).
Si la función alcanza al supremo, este se
llama mínimo absoluto de la función, es decir, que existe x0 ∈ Dom (f) tal que f(x0) = P,
siendo P = inf (f), diremos que f tiene un mínim absoluto y este mínimo
absoluto es P.
Gráficamente,
si al trazar la línea horizontal del ínfimo, ésta toca a la gráfica dela
función en algún punto, entonces la función tiene un mínimo absoluto, y si notoca
a la gráfica en ningún punto no tiene mínimo absoluto.
Función
acotada
Una función f está acotada si está acotada
superior e inferiormente.
·
Monotonía y extremos relativos
Monotonía
de una función:
La monotonía consiste en estudiar como
aumenta o disminuye la variable
dependiente y al aumentar o disminuir la
variable independiente x.
Máximo
relativo de una función
Una función f alcanza un máximo relativo en
un punto de abscisa x0 si
existe un entorno reducido de x0, es decir
E*(x0, h) = (x0 - h, x0 + h) - {x0}, tal
que f(x) < f(x0) para todos los puntos
de dicho entorno reducido.
Mínimo
relativo de una función
Una función f alcanza un mínimo relativo en
un punto de abscisa x0 si existe
un entorno reducido de x0, es decir E*(x0,
h) = (x0 - h, x0 + h) - {x0}, tal que
f(x) > f(x0) para todos los puntos de
dicho entorno reducido.
·
Convexidad y puntos de inflexión
Concavidad
de una función
Una
función f(x) es cóncava hacia arriba o simplemente cóncava en un punto, si la
recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por debajo de la gráfica.
Convexidad
de una función
Una
función f(x) es cóncava hacia abajo o simplemente convexa en un punto, si
la recta
tangente a la gráfica de f en ese punto está por encima de la gráfica.
*Una
regla que nos enseño un profesor para saber si es convexa (esta triste) y si es
cóncava (esta contenta).
Punto de
inflexión
Una
función f(x) tiene un punto de inflexión, cuando la recta tangente en ese punto
atraviesa la gráfica de la función. Por tanto hay un cambio de curvatura decóncava
a convexa o viceversa.
Otras
características que también podrían ser estudiadas:
·
Simetría
Funciones
pares
Una función f es simétrica respecto al eje
de ordenadas (Y) si verifica que:
Las funciones simétricas respecto al eje de
ordenadas se denominan funciones pares.
Funciones
impares
Una función f es simétrica respecto al
origen de coordenadas si verifica que:
Las funciones simétricas respecto al origen
de coordenadas se denominan funciones impares.
·
Periodicidad
Una función f es periódica de periodo T
> 0 si para cualquier valor de x del dominio de la función se cumple que:
Siendo K un número entero. Simplifican do
la expresión:
Es decir, una función es periódica cuando
se repite cada cierto intervalo.
Ejemplo de función periódica: sen x
· Tasa de
variación media
La
tasa de variación, TV, de una función, f(x), en un intervalo [x1, x2], es:
La
TV representa el aumento o la disminución de la función en los extremos del intervalo.
-TASA DE VARIACIÓN MEDIA EN UN INTERVALO
La tasa de variación media, TVM, de una función, f(x), en
un intervalo [x1, x2], es:
La tasa de variación media en un intervalo es la pendiente
de la recta que une los puntos de la gráfica correspondientes a los extremos
del intervalo.
Crecimiento y decrecimiento. Tasa de
variación media.
• Tasa de variación media en una función
estrictamente creciente
Si f(x) es estrictamente creciente en el
intervalo [x1, x2], la tasa de variación media (TVM) es estrictamente positiva.
• Tasa de variación media en una función
estrictamente decreciente
Si f(x) es estrictamente decreciente en el
intervalo [x1, x2], la tasa de variación media (TVM) es estrictamente negativa.
• Tasa de variación media en una función
constante
Si f(x) es constante en el intervalo (x1,
x2), la tasa de variación media en ese intervalo es cero.
Como f(x) es constante en (x1, x2),
entonces:
Si alguien quiere el archivo en word, solo tenéis que pedírmelo!!
