EXAMEN PARA CASA EJERCICIO 1

En este ejercicio os voy a hablar de una cosa de la que me di cuenta, cuando nuestro profesor nos explico como se hacia el ejercicio en la pizarra. (Esto nos facilita el ejercicio)

Proposición: en un triángulo isósceles la bisectriz interior del ángulo desigual
coincide con la mediatriz del lado desigual.

1.- Definición de incentro de un triángulo. Calcula, paso a paso, utilizando WIRIS, el área de la región plana comprendida entre la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita al triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 3 unidades y el ángulo comprendido entre dichos lados mide 0’5 radianes. ¿Dicha región es una corona circular? Razona tu respuesta. Dibuja dicha región utilizando GEOGEBRA y PAINT. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

El Incentro es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo 

No es una corona circular porque las circunferencias no son concéntricas.

EXAMEN PARA CASA EJERCICIO 3

A)  Elabora una construcción dinámica con GEOGEBRA que permita ver dicha evolución.

B) Demuestra, utilizando el teorema de Tales, que el triángulo MPR es isósceles.

  

C) Como el segmento AB se desliza por la semicircunferencia, el triángulo MPR varía, demuestra que cualquiera de esos triángulos MPR son semejantes.

 Son semejantes porque si aumenta la altura, la base disminuye proporcionalmente y si la base aumenta, la altura disminuye proporcionalmente.

EXAMEN PARA CASA EJERCICIO 4

Problema 4

Resuelve el triángulo DEN sabiendo que ABCDE es un pentágono regular, M es el punto medio del radio, en el 

eje OX, de la circunferencia circunscrita a dicho pentágono y que tomamos como unidad de medida, N es un punto en el eje OX tal que DM = NM. Utiliza WIRIS para realizar los cálculos paso a paso y dibuja la figura con la solución utilizando GEOGEBRA. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

He supuesto que el radio de la circunferencia r=1, luego he ido haciendo todos los cálculos que he necesitado con WIRIS.

Y luego he dibujado la solución usando GEOGEBRA.

¿Por qué se sincronizan los metrónomos?

Si colocas 32 metrónomos sobre una superficie móvil y los pones a funcionar desincronizados entre ellos, algo realmente interesante e hipnotizador sucede. Todos los metrónomos terminarán sincronizandose.

 La energía del movimiento de uno de los metrónomos afecta al movimiento de todos los demás metrónomos de su alrededor, mientras que la energía del movimiento de todos los demás metrónomos afecta al movimiento de nuestro metrónomo original. Toda esta comunicación ínter-metrónomo es facilitada por la tabla sobre la que descansan, que hace las funciones de intermediario energético entre todos los metrónomos colocados sobre ella.

http://naukas.com/2013/05/22/por-que-se-sincronizan-los-metronomos

Es increíble ver como se sincronizan todos los metrónomos. 

Si esto lo trasladáramos a una clase y cada metrónomo fuera un alumno, yo creo, que podríamos observarlo desde dos puntos de vista, uno de ellos positivo todos ellos persiguen un objetivo común y colaboran conjuntamente para conseguirlo, por lo que todos deben de seguir el ritmo, aunque a algunos les cueste menos y a otros más, pero al final todos lo consiguen.

La otra manera de abordarlo, que sería la manera negativa, es que todos los alumnos (metrónomos) se guien por un standard establecido, es decir, nos dejaríamos llevar por los demás, dejando a un lado nuestra manera de pensar, de actuar, de vestir... no habría variedad, ni creatividad, todos seriamos iguales, seriamos "copias del resto". 

Por ello yo pienso, que en algunas ocasiones todos los metrónomos deben sincronizarse, pero en la mayoría de los casos cada uno de ellos debe llevar su propio ritmo, porque cada uno es "único y diferente al resto."

EXAMEN PARA CASA

Nuestro profesor nos mando unos ejercicios parecidos a los que tendremos que hacer en el examen, para practicar. El ejercicio número 1 nos lo mando él resuelto, por lo que aquí os explico como resolver el ejercicio 2.

2.- Se quiere reconstruir la ubicación y las dimensiones de un claustro de forma cuadrada desaparecido y del que se ha encontrado su pozo. Se tienen dudas de la ubicación del pozo en relación al claustro pero se sabe que dicho pozo distaba 30, 40 y 50 m de las esquinas del claustro. Utiliza WIRIS para realizar los cálculos paso a paso y dibuja la solución con GEOGEBRA. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

He dibujado el claustro con GEOGEBRA, al ver el dibujo podemos usar la trigonometría para resolverlo o podemos trazar triángulos rectángulos y usar Pitágoras.

Lo he resuelto usando la trigonometría con WIRIS, he usado el teorema del coseno  (Cálculamos un lado del triángulo conocidos los otros dos lados y el ángulo comprendido entre ellos).

Hacemos un sistema de dos ecuaciones.

Luego he comprobado con GEOGEBRA que la solución X2 =14.26 no es valida para el problema porque el pozo estaría fuera del claustro.

PRÓXIMO EXAMEN

Vamos a hacer un examen en parejas de trigonometría el próximo lunes día 21 y la novedad es que solo vamos a poder usar el ordenador, para ello vamos a usar las herramientas GEOGEBRA y WIRIS, os dejo aquí unos tutoriales bastantes interesantes que a mí me han ayudado mucho a la hora de aprender a utilizar estas herramientas.

GEOGEBRA

WIRIS

Ejercicios de trigonometría tema 4 del 1 al 10

Transformaciones de sumas de dos razones en productos

Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos (TEMA 5)

Empezamos el tema 5.

Expresiones del área de un triángulo

Con esto finalizamos el tema 4

Resolución de triángulos cualesquiera

Teorema del coseno

Teorema de seno

Reducción de un ángulo al primer giro y al primer cuadrante

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Relaciones entre las razones trigonométricas de cualquier ángulo

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

TABLA

Resolución de triángulos rectángulos

En muchas ocasiones tendremos que calcular todos los ángulos y lados desconocidos de un triángulo rectángulo, esto se conoce como resolución de un triángulo rectángulo.

Se llama resolución de un triángulo rectángulo al procedimiento de hallar todos sus elementos desconocidos.

Triángulo Rectángulo
Un triángulo rectángulo posee un ángulo de 90º (A), y dos ángulos ángulos menores de 90º (B y C). El lado más largo recibe el nombre de hipotenusa (a) y los restantes se denominan catetos (B y C).

Tal y como puede apreciarse en la figura, en cualquier triángulo rectángulo podemos distinguir 6 elementos: por una parte sus lados ( a, b, c ) y por otra, sus ángulos (A, B y C). De los cuales, uno de ellos es recto (90º) A.

Para poder resolverlo como mínimo es necesario conocer, además del ángulo recto, dos lados o un lado y un ángulo.

De forma general, para determinar todos sus elementos puedes utilizar las siguientes herramientas:

1. Los ángulos de cualquier triángulo ya sean rectángulos o de otro tipo suman 180º, por tanto A+B+C = 180º. Además si tenemos en cuenta que en este tipo de triángulos uno de ellos es 90º, en el caso de nuestra figura se cumple que: B + C = 90º

2. El teorema de pitágoras. En nuestro triángulo se cumple que a2=b2+c2

3. Las razones trigonométricas. (sen, cos, tan, cosec, sec, cotg)

Verás que en ocasiones puedes obtener el valor de un determinado elemento por varios caminos. Sin embargo, escoge siempre aquel en el que intervengan mayor número de datos del enunciado o en su defecto datos calculados cuyas aproximaciones sean las más estrictas, ya que a medida que vayas obteniendo el valor de los elementos generalmente estos serán aproximaciones (les habrás ido quitando decimales). De esta forma, los datos que obtengas serán los más fiables.

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

Si cogemos un triángulo equilatero ABC, que como recordarás tiene todos sus lados (l) y sus ángulos iguales (60º), y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triángulos rectángulos. 

Descomposición de un triángulo equilatero
Al dividir por su altura un triángulo equilátero ABC como el de la figura obtendremos un triángulo rectángulo en el que los vértices A y B tendrán 30º y 60º respectivamente. 

Si conocemos el valor de los lados l, podemos calcular el valor de la altura por medio del teorema de pitágoras:

l2=h2+(l2)2;h=l2−(l2)2−−−−−−−−−√=34/⋅l2−−−−−−√=3√2/⋅l

A partir de esta figura podemos obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

Razones trigonométricas de los ángulos de 60º

Razones	Razones inversas
sin 30º=l2/l=cos 60º=12	cosec 30º=ll2/=2
cos 30º=hl=sin 60º=3√2	sec 30º=lh=23√3
tg 30º=l2/h=cotg 60º=13√=3√3	cotg 30º=hl2/=3√

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º

Razones	Razones inversas
sin 30º=l2/l=cos 60º=12	cosec 30º=ll2/=2
cos 30º=hl=sin 60º=3√2	sec 30º=lh=23√3
tg 30º=l2/h=cotg 60º=13√=3√3	cotg 30º=hl2/=3√

Razones trigonométricas de los ángulos de 45º

Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 45º tomaremos un cuadrado de lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triángulos isosceles. Recuerda que un triángulo isósceles tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º.

Descomposición de un cuadrado
Al dividir un cuadrado de lado l por su diagonal obtenemos dos triángulos isósceles cuya hipotenusa se puede obtener por medio del teorema de pitágoras.

h=l2+l2−−−−−√=l2√

Razones trigonométricas de los ángulos de 45º

Si aplicamos las definiciones de las distintas razones trigonométricas sobre el anterior triángulo isósceles obtenemos que:

Razones	Razones inversas
sin 45º=lh=12√=2√2	cosec 45º=hl=2√
cos 45º=lh=12√=2√2	sec 45º=2√
tg 45º=ll=1	cotg 45º=ll=1

Razones trigonométricas de ángulos notables

	0º	30º	45º	60º	90º	180º	270º
sen	0	12	2√2	3√2	1	0	−1
cos	1	3√2	2√2	12	0	−1	0
tg	0	3√3	1	3√	∞	0	−∞
cosec	∞	2	22√	23√	1	∞	−1
sec	1	23√	22√	2	∞	−1	∞
cotg	∞	33√	1	13√	0	∞	0

Si observas la anterior tabla con atención puedes darte cuenta que para cualquier ángulo agudo se cumplen las siguientes ecuaciones:

sin α = cos(90º−α)

cos α = sin(90º−α)

tg α = cotg(90º−α)