REGLA DE RUFFINI

REGLA DE RUFFINI: Para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x – a, podemos aplicar el método anterior, o bien utilizar un algoritmo que permite obtener de forma rápida y sencilla el cociente y el resto de dicha división. Este algoritmo es lo que se conoce como la Regla de Ruffini.

Veamos cómo funciona con un ejemplo.

Ejemplo:  Consideramos el cociente P(x):Q(x) con  

P(x) = 2x 3 − x + 5 + x 4 y Q(x) = x − 1

Los pasos a seguir son los siguientes:

1.      Ordenamos de forma decreciente, si no lo está ya, el dividendo P(x) ⇒

P(x) = x 4 + 2x 3 − x + 5

2.      Colocamos los coeficientes de todos los términos, incluidos los que son 0. A la izquierda escribimos el número que se resta a x en el divisor Q(x), en este caso 1 y bajamos el primer coeficiente de la izquierda, es decir, el coeficiente del término de mayor grado.

3.      Multiplicamos el coeficiente bajado por el número de la izquierda y colocamos el resultado debajo del coeficiente del término siguiente y sumamos

4.      Repetimos el paso anterior con las cantidades que vamos obteniendo, hasta llegar al último término.

1	1                2                0               – 1                 5 1                3                 3                  2
	1                3                3                 2	7

5.      Último número obtenido, el 7 de la casilla sombreada, se corresponde con el resto de la división y los números anteriores, 1 3 3 2, son los coeficientes del cociente.

Por tanto, resto R(x) = 7 y cociente C(x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 2

Observaciones:

ª   Si el dividendo hubiese sido un binomio de la forma x + 1, pondríamos a la izquierda -1, puesto que es el número que estaríamos restando a x, pues escrito en forma de resta x + 1 = x – (– 1).

ª   Como se divide entre un polinomio de grado 1, se tiene que:
  
 -El cociente será de, exactamente, un grado menor que el dividendo.

 -El resto será de grado cero, ya que tiene que ser de grado menor que el divisor.

Ejemplo.: Calcula P(x):Q(x)

a)       P(x) = x 3 + 2x 2 − x − 2 y Q(x) = x + 2

-2	1                2                -1               – 2 -2                0                 2
	1                0                -1	0

Resto R(x)=0; Cociente C(x) = x 2 + 0x − 1 ⇒ C(x) = x 2 − 1

 b)       P(x) = x 5 − 32 y Q(x) = x − 2

2	1                0                0                 0                0               -32 2                4                 8               16               32
	1                2                4                 8               16	0

Resto R(x)=0; Cociente C(x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16