GENERALIZACIONES, BINOMIO DE NEWTON, TRIÁNGULO DE TARTAGLIA O PASCAL, TEOREMA DE PITÁGORAS, TERNAS PITAGÓRICAS...

La clase de matématicas del día 15 de octubre fue muy variopinta, ya que estuvimos enlazando las cuestiones que iban saliendo.

La generalización en matemáticas es un procedimiento lógico-matemático en el cual se puede “diciéndolo de alguna manera” globalizar, extender lo aplicado a casos particulares. Lo que funciona para unos entes, cosas o individuos,funcionara para un gran conjunto o clase de ellos mismos, si cumplen con unas condiciones bien determinadas. 

BINOMIO DE NEWTON

El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión: 

Desarrollo del binomio de Newton 

Observando los coeficiente (en color rosa) de cada polinomio consiguiente se puede observar el seguimiento de esta secuencia TRIÁNGULO DE TARTAGLIA O DE PASCAL

ECUACIÓN DIOFÁNTICA

xⁿ + yⁿ = zⁿ 

Es una ecuación donde tanto los términos constantes (coeficientes), como las variables son números enteros; puede ser de una sola ecuación de dos, tres o más incógnitas, de primer, segundo o mayor grado. En un golpe de intuición, Fermat había conjeturado la imposibilidad de hallar soluciones positivas enteras para la ecuación diofántica:

para cualquier n mayor que dos (n > 2).

GENERALIZACIÓN FAMOSA

x² + y²= z²    

TEOREMA DE FERMAT (Ecuación DIOFÁNTICA  x, y & z Є Z enteros) 
*Representa el Teorema de Pitágoras

Si a, b y c son enteros positivos, juntos se les llama una terna pitagórica. 

La terna pitagórica más pequeña es 3, 4 y 5. Es fácil ver que 3² + 4² = 5² (9+16=25).

El conjunto de ternas pitagóricas no tiene fin.

Es fácil demostrarlo usando la primera terna pitagórica (3, 4 y 5):

Sea n un entero mayor que 1: 3n, 4n y 5n también son una terna pitagórica. Esto es verdad porque:

(3n)² + (4n)² = (5n)²

n	(3n, 4n, 5n)
2	(6,8,10)
3	(9,12,15)
...	... etc ...

TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?