NÚMERO ALGEBRAICO
Un número algebraico es: cualquier número que es solución de un
polinomio no nulo con coeficientes racionales.
Por decirlo más fácilmente, si
tienes un polinomio como (por ejemplo):
2x2-4x+2
= 0
Entonces x es algebraico.
Porque:
- El polinomio
no es cero
- x es un a raíz o cero (o sea, x da el resultado cero en la
función 2x2-4x+2)
- los
coeficientes son números racionales
El polinomio puede ser más simple o complicado que este ejemplo,
claro, mientras los coeficientes sean racionales.
Propiedades
El conjunto de números algebraicos es numerable.
Todos los números racionales son algebraicos, pero un número I irracional puede ser o no algebraico.
¿POR QUÉ Φ ES ALGRBRAICO?
Φ FI ES ALGEBRAICO porque es la solución de una ecuación
polinómica cuyos coeficientes son números racionales.
NÚMEROS TRANSCENDENTES
Un número transcendente es un número que no es un número algebraico (es decir, no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales).
Algunos
ejemplos de números transcendentes son π y e
Números de Liouville
Ya
en 1844, Joseph Liouville estudió este número:
 |
= 0,11000100000000000000000100……
|
(cada cifra es 1 si está n! posiciones
después del punto decimal, y 0 si no.)
|
Es
un número muy interesante porque:
- es irracional, y
- además no es solución de ninguna ecuación polinomial así que no
es algebraico.
De
hecho, Joseph Liouville acababa de encontrar el primer número
transcendente que se podía demostrar que lo era.
Ese
número se conoce ahora como la constante de Liouville. Y es un número
de Liouville.
Más números transcendentes
Hubo
que esperar hasta 1873 para el primero número "no construido" que
fuera transcendente, cuando Charles Hermite demostró que e es
transcendente.
Después
en 1884, Ferdinand von Lindemann publicó una prueba de que π es transcendente.
De
hecho, demostrar que un número es transcendente es bastante difícil, aunque se
sepa que son muy comunes...
Los números transcendentes son comunes
Casi
todos los números reales son transcendentes. El argumento para verlo es:
- Los números algebraicos son "numerables" (por decirlo
simplemente, la lista de números enteros es
"numerable", y puedes ordenar los números algebraicos para que
vayan de par en par con los números enteros, así que también son
numerables.)
- Pero los números reales no son "numerables".
- Y como cada número real es algebraico o transcendente, los
transcendentes deben ser "no numerables".
- Así que hay muchos más transcendentes que algebraicos.
Funciones transcendentes
Así
como un número transcendente "no es algebraico", una función
transcendente también es "no algebraica". Más formalmnte, una función
transcendente es una función que no se puede construir en un número finito de
pasos a partir de las funciones elementales y sus inversas, por ejemplo la
función seno Sin(x).
Ejemplo: ¿√2 (la raíz cuadrada de 2) es
algebraico o transcendente?
√2 es una solución de x2 - 2 = 0, así que es algebraico
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