Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

Si cogemos un triángulo equilatero ABC, que como recordarás tiene todos sus lados (l) y sus ángulos iguales (60º), y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triángulos rectángulos. 

Descomposición de un triángulo equilatero
Al dividir por su altura un triángulo equilátero ABC como el de la figura obtendremos un triángulo rectángulo en el que los vértices A y B tendrán 30º y 60º respectivamente. 

Si conocemos el valor de los lados l, podemos calcular el valor de la altura por medio del teorema de pitágoras:

l2=h2+(l2)2;h=l2−(l2)2−−−−−−−−−√=34/⋅l2−−−−−−√=3√2/⋅l

A partir de esta figura podemos obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

Razones trigonométricas de los ángulos de 60º

Razones	Razones inversas
sin 30º=l2/l=cos 60º=12	cosec 30º=ll2/=2
cos 30º=hl=sin 60º=3√2	sec 30º=lh=23√3
tg 30º=l2/h=cotg 60º=13√=3√3	cotg 30º=hl2/=3√

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º

Razones	Razones inversas
sin 30º=l2/l=cos 60º=12	cosec 30º=ll2/=2
cos 30º=hl=sin 60º=3√2	sec 30º=lh=23√3
tg 30º=l2/h=cotg 60º=13√=3√3	cotg 30º=hl2/=3√

Razones trigonométricas de los ángulos de 45º

Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 45º tomaremos un cuadrado de lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triángulos isosceles. Recuerda que un triángulo isósceles tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º.

Descomposición de un cuadrado
Al dividir un cuadrado de lado l por su diagonal obtenemos dos triángulos isósceles cuya hipotenusa se puede obtener por medio del teorema de pitágoras.

h=l2+l2−−−−−√=l2√

Razones trigonométricas de los ángulos de 45º

Si aplicamos las definiciones de las distintas razones trigonométricas sobre el anterior triángulo isósceles obtenemos que:

Razones	Razones inversas
sin 45º=lh=12√=2√2	cosec 45º=hl=2√
cos 45º=lh=12√=2√2	sec 45º=2√
tg 45º=ll=1	cotg 45º=ll=1

Razones trigonométricas de ángulos notables

	0º	30º	45º	60º	90º	180º	270º
sen	0	12	2√2	3√2	1	0	−1
cos	1	3√2	2√2	12	0	−1	0
tg	0	3√3	1	3√	∞	0	−∞
cosec	∞	2	22√	23√	1	∞	−1
sec	1	23√	22√	2	∞	−1	∞
cotg	∞	33√	1	13√	0	∞	0

Si observas la anterior tabla con atención puedes darte cuenta que para cualquier ángulo agudo se cumplen las siguientes ecuaciones:

sin α = cos(90º−α)

cos α = sin(90º−α)

tg α = cotg(90º−α)

Unidades angulares

La trigonometría se refiere al estudio de la relación entre la medida de los ángulos y los lados de un triángulo, se emplean tres unidades angulares:

• Grado sexagesimal
• Radián (SISTEMA INTERNACIONAL)
• Grado centesimal

Las unidades más utilizadas en distintos campos de estudio son:

El Grado Sexagesimal y El Radián

Un grado sexagesimal, es la 1/90 parte de un ángulo recto, es decir, 1°. Esto implica, que un ángulo recto tiene 90° y que el ángulo completo, cuyo arco es la circunferencia completa tiene 360°.

  

Un radián: es la medida de un ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con el que se ha trazado, al medir los ángulos en radianes se obtienen números reales.