OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Suma de números complejos

La suma de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

Propiedades de la suma de números complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa

Dados dos números complejos a + bi  y c + di  se tiene la igualdad:

                              (a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

Ejemplo:

                           (2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i

                           (-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i

· Asociativa

Dados tres complejos a + bi, c + di  y e + fi , se cumple:

                 [(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]

Ejemplo:

        [(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i

        (5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

    (a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

 El número 0 + 0i  se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».


· Elemento simétrico

El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi  es (- a - bi ):

                                  (a + bi  ) + (-a - bi) = 0 + 0i  = 0

Ejemplo:

                   El simétrico de 2 - 3i  es -2 + 3i  pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0

Resta de números complejos

La resta de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) = 
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) = 

=10 − 15i + 4i − 6i²= 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

HAY QUE TENER EN CUENTA i²=-1

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.