Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Empezamos con la trigonometría:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura.

Triángulo rectángulo
Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto.

Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

seno

El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α).

sin(α)= cateto opuestohipotenusa=ca

coseno

El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α).

cos(α)= cateto contiguohipotenusa=ba

tangente

La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α).

tan(α)= cateto opuestocateto contiguo=cb

De las definiciones anteriores es posible deducir que:

tg(α)=sin(α)cos(α)

Demostración:

tan(α)= cb=⎧⎩⎨⎪⎪c=sin(α)⋅a b=cos(α)⋅a⎫⎭⎬⎪⎪=sin(α)⋅acos(α)⋅a=sin(α)cos(α)

cosecante

La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α).

csc(α)=1sin(α)=hipotenusacateto opuesto=ac

secante

La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa del coseno es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α).

sec(α)=1cos(α)=hipotenusacateto contiguo=ab

cotangente

La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α).

cotg(α)=1tg(α)=cateto contiguocateto opuesto=bc

Propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo agudo

1. Dado que se trata de un ángulo agudo ( 0 < α < 90º ) podemos deducir que:

0<sin(α)<10<cos(α)<1

2. A partir del teorema de pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica:

sin2(α)+cos2(α)=1

Demostración:

sin2(α)+cos2(α)=(ca)2+(ba)2=c2+b2a2={a2=b2+c2}=a2a2=1

3. De igual forma, si dividimos la identidad pitagórica por cos2(α) obtenemos que:

tan2(α)+1 = sec2(α)

Demostración:

sin2(α)cos2(α)+cos2(α)cos2(α)=1cos2(α) ;(sin(α)cos(α))2+1=(1cos(α))2 ;tan2(α)+1 = 

Reflexión: Ya se acabó la primera evaluación...

Es increíble lo rápido que se me ha podido pasar este trimestre...

Al principio estuvo lleno de cambios, el salto de la ESO a bachillerato es considerable y hay que adaptarse al aumento del volumen de trabajo, al nuevo nivel de exigencia, a los nuevos profesores, a los nuevos compañeros, a la nueva rutina...

Centrándome en la asignatura de matemáticas, para mí ha supuesto un cambio importante, ya que nunca había trabajado de esta manera. Hemos tenido que crear un blog en el que cada día subimos todo lo que hacemos en clase, además nuestro profesor nos propone nuevos retos aparte, hay que crear un hábito y al principio cuesta, pero luego te das cuenta de que tiene bastante utilidad, ya que te obliga a estudiar matemáticas día a día o por lo menos a repasar lo que has dado. Mientras estás preparando las entradas sin darte cuenta te lo estudias. Al subirlo a un sitio como es Internet, donde cualquiera puede entrar y ver tus entradas, que menos que en tu blog este todo explicado lo mejor posible y con el menor número de errores, porque si alguien entra es porque se va a fiar de lo que tú has puesto (lo que implica una responsabilidad). También puedes entrar en los blog de tus compañeros, contrastar lo que tienen con lo tuyo y poder llegar a entender lo que sea con la explicación de otra persona. A largo plazo hacer el blog da sus frutos. El único aspecto negativo que le encuentro es que quita bastante tiempo (que en parte está aprovechado). 

Otra cosa que me ha chocado muchísimo son los exámenes grupales, lo nunca visto, la primera vez que nos lo dijo nuestro profesor estábamos todos asustados y con miedo. Pero realmente cuando quedas con tus compañeraos, empiezas a prepararlo, te involucras en ello, empiezas a ver todas las ventajas que tiene, si surge a alguna duda siempre podrás preguntarle a alguien de tu equipo y vas a poder sacar el ejercicio, quieras o no te lo estudias más y te esfuerzas más porque lo que tú hagas no sólo va a influir en ti, sino en todo el equipo. Es decir, los unos dependemos de los otros, si queremos obtener algo. Por otra parte vas con más seguridad al examen, porque le has dedico más tiempo y esfuerzo y te lo sabes, y también porque cuentas con el respaldo de tus compañeros. 

Yo creo que esta evaluación me he esforzado bastante aunque siempre se puede mejorar, llegar más allá y dar más de uno mismo. La verdad me gusta aprender, para poder tener un criterio propio, capacidad de decisión, sentirte útil, sentirte competente, saber elegir... En mi opinión aprender en muchos casos va ligado a sacar buenas notas, si tú sabes hacer algo lo más probable es que saques buena nota (aunque esto también dependa también de la inteligencia, el esfuerzo y la motivación de cada persona). Que tu esfuerzo se vea recompensando es muy gratificante, desgraciadamente nos tenemos que guiar por una nota, "yo soy de 7", "tú eres de 9". Son las normas que nos ha impuesto la sociedad en la que vivimos y cambiarlas es una tarea difícil y costosa, ¿dé que otras alternativas podríamos calificar a los alumnos?, ¿cómo sabemos que se han esforzado lo necesario?...

Hoy en día para entrar en determinadas carreras te exigen unas notas desorbitadas, lo que hace que los alumnos nos centremos solo en la nota y en hacer lo que sea por conseguir esa nota, olvidando todo lo que hay detrás de esa nota y sobretodo sin darnos cuenta de lo bonito que es aprender. 

En mi caso particular, me autoexijo mucho a mí misma, sobretodo cuando sé que puedo dar más de sí y no lo hago. Cada uno somos distintos, estamos condicionados por una serie de factores, por lo que compararnos con los demás sería inútil, ya que no jugamos con las mismas cartas, pero TODOS deberíamos dar la mejor versión de nosotros mismos. Echando la vista atrás me doy cuenta de que he aprendido muchas cosas durante este tiempo y que todo el esfuerzo ha merecido la pena. 

"ESFUERZO, CONSTANCIA Y DEDICACIÓN".

Algunos "retos" propuestos en el examen

Esta semana te he descuidado un poco, ya que no he tenido mucho tiempo, pero cuanto antes de voy a poner al día. Hoy he querido subir algunas preguntas que nuestro profesor nos hacía en el examen, profundizando en algunas cosas, yo lo he llamado "retos".

REFLEXIÓN ¿HAY PROFESORES BUENOS Y PROFESORES MALOS?

Esta es la dirección del artículo que nos ha mandado leer y comentar nuestro profesor:

http://blogs.elnortedecastilla.es/cosas-como-son/2015/11/11/a-favor-de-los-malos-profesores/

En primer lugar decir que me ha llamado mucho la atención la manera como está escrito el artículo, a través de una experiencia personal te va introduciendo a esta cuestión que puede tener infinitas respuestas ¿Hay profesores buenos y malos? 

Mi respuesta es esta, yo creo que no es que sean buenos o malos, sino apasionados o no. Me explico, yo creo que para ser profesor es fundamental sentir pasión por lo que estás haciendo, que los demás noten que te gusta, que disfrutas haciendo eso, si no sientes ninguna motivación por hacer lo que haces (enseñar a otros lo que a ti tanto te gusta) no seas profesor. 

Como alumno te das cuenta de que hay muchos profesores que pasan de todo, llegan a clase se sientan y se limitan a seguir el libro, no se salen de ahí, la clase se hace monótona y aburrida lo que hace que odiemos esa asignatura. 

Sin embargo, hay otro tipo de profesores que en muchos casos podemos considerar raros por qué se salen del guión establecido, cambian esa forma de dar la clase, de evaluar, de hacer los exámenes, la forma de ver a los alumnos, de guiarse por una nota, al principio como cualquier cambio te choca, le buscas pegas y aspectos negativos porque desde siempre has aprendido que ir a clase, es escuchar un sermón, no enterarte de nada, aguantar como sea esas seis horas de clase e irte a casa. A estos profesores aunque sean exigentes, y tengan su manera de hacer las cosas, se les termina cogiendo cariño y se tiene un buen recuerdo de ellos. Nos acordamos de aquello que nos llama la atención, de lo que es distinto a lo demás, de lo que es original y creativo. En mi opinión este tipo de profesores son los que te transmiten lo que es de verdad esa asignatura. Es mucho más fácil, más ameno y le pones más ganas a todo lo relacionado con esa asignatura, aunque tenga más dificultad y no te lo den todo hecho. Y sí, yo creo que aprendes más porque llegas al fondo de todo. 

Por otra parte, esto de aprender es muy difícil y no sólo depende de tener un buen profesor, que en la mayoría de los casos te facilita todo el proceso de aprendizaje. Depende también de los alumnos, tambien hay muchos tipos de alumnos, con distintas capacidades, más habladores, más callados... Al igual que siendo alumno te das cuenta de cómo es cada profesor, los profesores ven como somos cada uno de nosotros. Dar clase a un alumno apasionado que disfruta por aprender es mucho más fácil que "intentarlo" con un alumno que pase de todo y le de igual.  

Por todo esto, concluyo que tiene que haber un equilibrio entre las dos partes tanto profesores como alumnos,  para que el proceso de aprender sea exitoso. Cada profesor tiene su forma de enseñar y cada alumno su forma de aprender. "Aprender siempre ha sido y será complicado."

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ALGEBRAICOS CON ENUNCIADO

Tenemos que seguir estos pasos:

1. Lee y comprende el enunciado del problema tantas veces como sea necesario.
2. Identifica la incógnita o incógnitas.
3. Plantea la ecuación/inecuación/ecuaciones/inecuaciones identificando la información relevante.
4. Resuelve la ecuación/inecuación o los sistemas de ecuaciones/inecuaciones.
5. Responde a lo que te preguntan valorando la solución adecuada del contexto.