OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Expresión algebraica: Expresión en la que se operan números conocidos y desconocidos, representados por letras, a, b, c, x, y, z,..., que se denominan indeterminadas. Cada sumando es un término de la expresión.

Ejemplo.: 3x2y3 + 2xy + 3 es una expresión algebraica de tres términos y dos indeterminadas.
Términos: 3x2 y3 , 2xy , 3                  Indeterminadas: x, y

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el que se obtiene al sustituir las letras por números y calcular la operación resultante.

Ejemplo.: 

el valor numérico de  3xy + 4x  para x = 2 e y = 5 es 30, ya que: 3·2·5 + 4·2 = 30 + 8 = 38

                    

MONOMIOS

Monomio: Es la expresión algebraica que resulta de multiplicar un número por una o varias indeterminadas. El número se denomina coeficiente, y el producto de las indeterminadas, parte literal.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Ejemplo.:

a)    3x 2 yz es un monomio de coeficiente 3 y parte literal x 2 yz

b)    - x 3 es un monomio de coeficiente (– 1) y parte literal x 3

c)    Los monomios 7x3y2  , 4x 3 y 2 son semejantes (la parte literal x 3 y 2  es igual)

 Grado de un monomio: Es la suma de los exponentes de su parte literal.

Ejemplo.:

a)    El grado del monomio 8ab3z2  es 6, (1+3+2 =6)

b)    El grado del monomio - x 3 es 3

c)    El grado del monomio constante 7 es cero, ya que la parte literal tendría grado 0

       ( 7x 0  y x 0  = 1 )

Suma y resta de monomios semejantes: Se suman o restan sus coeficientes,

manteniéndose la misma parte literal.

Ejemplo.:

a)    7x 3 y 2  + 4x 3 y 2 = (7+4) x 3 y 2  = 11 x 3 y 2

b)    7x 3 y 2  – 4x 3 y 2 = (7-4) x 3 y 2  = 3 x 3 y 2

Multiplicación de un monomio por un número: Se multiplica el coeficiente por dicho número, manteniéndose la misma parte literal.

Ejemplo .: (-4)· 3ab3z2  = ((-4)·3) ab3 z2  = -12 ab3 z2

Multiplicación de monomios: No es necesario que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y las potencias de las partes literales se van multiplicando, agrupando las que tengan  la  misma  base,  sumando  los  grados  como  se  indica  en  las  propiedades  de  las potencias.

Ejemplo .:

a)    (3xy).(4x2y3) = 12x3y4 (no sería necesario expresar los monomios entre paréntesis, sólo se han utilizado para indicar cada uno de ellos, bastaría escribir 3xy·4x2y3 = 12x3y4   )

b)    3ab3z2 ⋅ (-5a4z6 ) = -15a5b3z8

Cociente de monomios: Se dividen los coeficientes, y las potencias de las partes literales se van dividiendo, agrupando las que tengan la misma base, restando los grados como se indica en las propiedades de las potencias.

Ejemplo.:

 POLINOMIOS

Polinomio: Expresión formada por sumas y/o restas de monomios de diferentes grados.

Ejemplo .:

a)    Q(x, y) = 2xy3 + 3x2y − 2 es un polinomio en dos indeterminadas x e y.

b)    P(x) = 2x 5 - x 3  + x − 1 es un polinomio en una indeterminada, x.

Grado de un polinomio: Es el de su monomio de mayor grado. Cuando el polinomio sea función de una única indeterminada, el grado coincidirá con el mayor de los exponentes de dicha indeterminada.

Ejemplo.:

a)    P(x, y) = 2xy3 + 3x2y − 2x + 5 es de grado 4, ya que:

Grado del monomio 2xy3 : 1+3=4

Grado del monomio 3x2y : 2+1=3

Grado del monomio −2x : 1+0=1

Grado del monomio 5 : 0

b)    P(x) = 2x 5 - x 3  + x − 1 es de grado 5

c)    P(x) = 2x3 + 3x7 − 2x2 + 9 es de grado 7

→ → De aquí en adelante, nos centraremos en polinomios con una indeterminada ← ←

 Ordenar un polinomio: 

Consiste en reorganizar los términos de manera que aparezcan

escritos los grados de mayor a menor (descendente) o de menor a mayor (ascendente);

generalmente se ordenan de la primera forma.

 Ejemplo.:

P(x) = 5 + 4x3 - x2 − 3x8 + 2x6

ordenado de mayor a menor queda: P(x) =  −3x 8  + 2x 6  + 4x 3  - x 2  + 5

ordenado de menor a mayor queda: P(x) = 5 - x 2  + 4x 3  + 2x 6  − 3x 8

Expresión general de un polinomio en una indeterminada: un polinomio en una indeterminada, x, es de la forma

Los coeficientes ai  pueden ser cualquier número real y el coeficiente de xn

tiene que ser no nulo, ya que es el término que nos da el grado del polinomio.

a0  : Se llama término independiente del polinomio. Es el coeficiente del término de grado 0,

es decir, el término que aparece como a0  es en realidad el a0 x 0 .

Observación: Cuando no aparece alguna potencia xi , se dice que el polinomio no es completo

y significa que el coeficiente correspondiente a dicha potencia es nulo, es decir, ai = 0 .

Por ejemplo:

P(x) = 2x 5 + 0 ⋅ x 4 - x 3 + 0 ⋅ x 2 + x − 1

 OPERACIONES CON POLINOMIOS:

Suma y resta: Se realizará sumando los términos por monomios semejantes.

Ejemplo.:

a)    (x2 − 3x + 2) + (2x2 + 1) = x2 − 3x + 2 + 2x2 + 1 = 3x2 − 3x + 3

b)    (x2 − 3x + 2) − (2x2 + 1) = x2 − 3x + 2 − 2x2 − 1 = −x2  − 3x + 1

Multiplicación de polinomios:

1.      Producto de un número por un polinomio: Se multiplica el número por cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo.:

a)    4(x2 − 3x + 2) = 4x2 − 12x + 8

b)    - 6(-x3 + 5x2 − 3) = 6x3 − 30x2 + 18

2.      Producto de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo.:

a)    4x 3 ⋅ (x 2  − 3x + 2) = 4x 5  − 12x 4  + 8x 3

b)    - 6x 4 ⋅ (-x 3  + 5x 2  − 3) = 6x 7  − 30x 6  + 18x 4

3.      Producto de dos polinomios: Se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada uno de los monomios del segundo polinomio y después se agrupan los monomios semejantes.

Ejemplo.:

 a)    (2 - 6x) ⋅ (-x 3  − 3) =  −2x 3  − 6 + 6x 4  + 18x

 b) (4x 3  + 5x) ⋅ (x 2  − 3x + 2) =  4x 5  − 12x 4  + 8x 3  + 5x 3  − 15x 2  + 10x = 4x 5  − 12x 4  + 13x 3  −15x 2  + 10x

Cociente de polinomios:

Ordenamos los polinomios dividendo y divisor de forma descendente. Los colocamos como las divisiones de números, el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha. Si el dividendo es incompleto, dejamos los huecos correspondientes. La división se realizará de forma similar a como se procede con los números.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor; vamos multiplicando este resultado por cada término del divisor y se lo restamos al dividendo (para que resulte más sencillo y no cometamos errores con los signos, podemos ir cambiando el signo de cada producto resultante, colocarlo debajo de su correspondiente grado en el dividendo y sumar con el dividendo) ; repetimos el proceso hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el del divisor (análogo a las divisiones entre números).

Observación: En el caso de que el resto de P(x):Q(x) resulte ser 0, diremos que la división es exacta y que el polinomio P(x) es divisible por el polinomio Q(x).

Ejemplo:   Realiza la división P(x):Q(x), siendo

P(x) = x 4 + 2x 3 − x + 5 y Q(x) = x 2 − 2x + 3

 

Se verifica la misma relación que con números, D = d·c + r, pero con polinomios:  

P(x) = Q(x)·C(x) + R(x)

GRADO (R(x)) < GRADO (Q(x))